Комплекснозначная экономика

Ограниченность экономико-математических моделей действительных переменных очевидна. Попытки развить их за счёт включения в модели новых переменных или усложнения вычислительного аппарата посредством всё более производительной вычислительной техники, — важное направление совершенствования экономико-математического моделирования, отрицать которое ни в коем случае не стоит.

Но сегодня уже ощутима потребность в использовании иных принципов экономико-математического моделирования, и такие принципы открываются в экономике при использовании в ней теории функций комплексного переменного (ТФКП).

В естественно-научных и инженерно-технических науках без комплексных переменных сегодня вообще немыслимо что-либо рассчитать. Задачи гидродинамики и газовой динамики, теория упругости, расчёт электрических контуров и электрических переходных процессов, физика микро- и макромира, авиастроение, самолётостроение и многие, многие другие разделы современной науки используют комплексные переменные как основной математический инструмент моделирования. А в экономике его не было.

Комплексная переменная сама по себе может рассматриваться как модель, модель, которая характеризует свойства объекта более комплексно, поскольку состоит из двух действительных переменных, а не из одной, как это характерно для моделей действительных переменных.

Воспользовавшись теорией комплексных чисел, можно связать функциональной зависимостью любую пару действительных чисел. Ситуации, когда в экономике можно поставить в функциональное соответствие друг другу пару значений, встречаются достаточно часто.

Когда мы в экономике рассматриваем такой экономический показатель, как, например, валовая прибыль G, то мы понимаем, что он представляет возможность оценить только одну сторону сложного экономического явления – результаты производственного процесса. Не случайно, когда возникает ситуация принятия решений, никто не довольствуется только критерием максимума валовой прибыли, для осмысления ситуации и принятия правильного решения изучают дополнительные показатели результатов производства. Это только в современной экономической теории объясняют поведение фирмы, ориентируясь на критерий максимума валовой прибыли. В реальной экономике в качестве не менее важного экономического показателя рассматривают показатели затрат на производство продукции, или, как чаще выражались в прежние годы – издержки производства C. А потом, соотнеся валовую прибыль с издержками производства, вычисляют, например, рентабельность. Поскольку именно рентабельность является тем экономическим показателем, который отражает и затраты, и результаты, то есть, является показателем экономической эффективности производства, его используют как ещё один дополнительный показатель для принятия экономического решения.

В реальной экономической практике, описывая с помощью моделей действительных переменных некоторый производственный процесс, для принятия решения учёные вынуждены моделировать и валовую прибыль, и издержки производства. Поскольку построение двух моделей не очень удобно и более затратно, строят одну модель, складывая валовую прибыль с издержками, в результате чего получают валовой выпуск. Именно валовой выпуск и рассматривается в экономико-математическом моделировании как основной производственный результат.

Желание одновременного моделирования двух экономических переменных – валовой прибыли и издержек производства легко удовлетворяется, если рассматривать производственный результат как комплексное число. Это комплексное число в таком случае само по себе выступает как модель, отражающая результаты производства. Для рассматриваемого случая она может быть представлена в таком виде:

$Z=C+iG$.                                                                       (1)

Здесь i – мнимая единица, относительно которой известно, что она обладает свойством i2=-1.

Рассматривая и моделируя новое число Z, мы тем самым одновременно учитываем и валовую прибыль G, и издержки производства С, поскольку они являются неотъемлемыми характеристиками комплексного числа. То есть, выполняя действия с какой-либо одной комплексной переменной, исследователь выполняет тем самым действие с двумя действительными переменными. Следовательно, использование комплексной переменной типа (1) как некоторой модели, связывающей воедино две экономические переменные, позволяет получить значительно более компактную запись, с одной стороны, и включить в экономико-математическую модель более подробную информацию о моделируемом объекте, с другой стороны, и рассматривать их во взаимосвязи — с третьей стороны.

Но если бы только на этом заканчивались новшества, вводимые в экономико-математическое моделирование применением комплексных переменных, то, может быть, этого делать и не стоило. Моделируемые с помощью комплексных переменных экономические показатели и процессы значительно более обширны, чем это кажется на первый взгляд. Действительно, если просто просуммировать вещественную и мнимую части переменной (1), то можно получить известный показатель — валовую выручку:

$Q=C+G$,                                                                          (2)

а если найти отношение действительной части к мнимой, то получим арктангенс полярного угла комплексного числа (1) и… рентабельность по себестоимости:

$r=C/G$.                                                                              (3)

То есть, моделируя поведение только одной комплексной переменной, исследователь тем самым получает возможность изучать характер изменения не только двух исходных переменных, но и ряда дополнительных показателей, являющихся производными от них. В рассматриваемом случае – получается моделирование сразу четырёх важных экономических показателей.

Но и это ещё не всё! Комплексное число может быть представимо не только в арифметической форме, но и в экспоненциальной и тригонометрической. А для этого, рассматривая комплексное число на комплексной плоскости, его представляют в полярных координатах. Оно на такой плоскости характеризуется модулем и полярным углом. Модуль комплексного числа (1), определяемый как

$R=\sqrt{C^2+G^2}$,                                         (4)

не имеет аналогов в системе технико-экономического анализа, и переставляет собой новый экономический показатель, отражающий масштаб производства. Его использование на практике может расширить диагностический аппарат, например, такого раздела экономики, как анализ хозяйственной деятельности. Отношение валовой выручки Q к масштабу R также может дать дополнительную характеристику производства, свойства которой могут быть полезны при осуществлении экономического анализа. Такие примеры можно продолжать и продолжать. В каждом случае применения моделей комплексный переменных возникают всё новые и новые возможности для более подробного, более детального моделирования экономики.

Таким образом, даже простое представление экономических показателей и факторов в форме комплексного числа (1) уже даёт много новых возможностей  для исследователя и экономико-математического моделирования. Но математические действия с комплексными числами дают результат, нетривиальный для действий с вещественными числами. Именно поэтому в математике существует раздел под названием «Теория функций комплексного переменного». Используя этот новый для экономики математический аппарат, тем самым расширяется инструментальная база моделирования экономики, поскольку модели комплексных переменных иначе описывают взаимосвязь между переменными, нежели модели действительных переменных. Зачастую происходит так, что очень сложные взаимосвязи между действительными переменными проще описать с помощью моделей и методов ТФКП, нежели с помощью моделей действительных переменных. Конечно, как следует из разделов теории функций комплексного переменного, любая комплекснозначная функция в итоге может быть представлена как система двух функций действительных переменных, но эти функции действительных переменных чаще всего оказываются столь сложными, что их на практике и не применяют — простые модели комплексных переменных имеют очень сложные аналоги в области действительных переменных.

Выполняя какие-либо математические действия с двумя действительными переменными, выполняются математические операции только с этими двумя переменными, а, выполняя аналогичные действия с двумя комплексными числами, например, умножая одно комплексное число на другое комплексное число, тем самым одновременно выполняется математическая операция сразу с четырьмя действительными числами.

Сразу следует оговориться, что вышесказанное вовсе не означает, что математические действия с комплексными переменными в экономике лучше, чем такие же  действия с действительными переменными, а модели комплексных переменных лучше, чем модели действительных переменных. Нет! Всё вышесказанное следует трактовать только так – математические действия с комплексными экономическими переменными дают другие результаты, и математические модели комплексных экономических переменных моделируют другие экономические процессы. В некоторых случаях модели комплексных переменных будут лучше описывать экономические процессы, чем модели действительных переменных, а в некоторых – хуже.

Но именно представление пары экономических показателей в форме комплексного числа, как это сделано в случае производственного результата, открывает перед экономистами возможность использования в целях моделирования экономики теорию функций комплексного переменного. В этой теории функции, переменными которых выступают комплексные числа, получили названия «комплекснозначных». Комплекснозначная экономика – это раздел экономико-математического моделирования, переменными которого выступают комплексные значения экономических показателей.

Какие разделы комплекснозначной экономики удалось сформировать мне и моим ученикам? Вот основные:

  1. Статистика комплексной случайной переменной.
  2. Производственные функции комплексных переменных.
  3. Экономическое прогнозирование с помощью комплекснозначных моделей.
  4. Комплекснозначное моделирование фондовых рынков