Комплекснозначная экономика

Комплекснозначная экономика — это раздел экономико-математического моделирования, в котором переменными являются комплексные числа. Это значит, что в основе комплекснозначной экономики лежит теория функций комплексного переменного.

Я начал разрабатывать теорию и методологии комплекснозначной экономики с 2004 года. Активным моим помощником и учеником был мой сын Иван. Первые годы совместных научных исследований он не понимал в полном объёме суть этой работы и её научную значимость. Теперь он — один из «отцов основателей» комплекснозначной экономики вместе со своим отцом (со мной, то есть).

Результаты первых исследований были столь впечатляющими, что наша с Иваном научная монография выиграла конкурс грантов РФФИ по опубликованию результатов научных исследований и была выпущена при финансовой поддержке этого научного фонда в 2008 году:

1. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. Производственные функции комплексных переменных.  М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 136 с.

В 2019 году издательство ЛКИ попросило нас сделать переиздание этой монографии и я добавил в монографию четвёртую главу. Теперь в этой монографии стало 170 страниц. Монографию можно свободно купить в России.

Фундаментальная работа по комплекснозначной экономике была написана мною в состоянии аффекта (на одном дыхании) и опубликована в 2012 году:

2. Svetunkov Sergey. Complex-Valued Modeling in Economics and Finance.  Springer Science+Business Media, New York, 2012.  318 p.

Тот вал новых научных результатов, который представлен в этой книге, до сих пор меня самого удивляет. Книга разошлась тиражом более 10 000 экземпляров и до сих пор продаётся издательством. Часть результатов этой монографии была подготовлена по итогам исследований, которые выполнили под моим руководством мои ученики и ссылка на их вклад в формирование комплекснозначной экономики в книге есть.

Третья фундаментальная работа в этом направлении опубликована в 2019 году:

3. Светуньков С.Г. Основы эконометрики комплексных переменных. СПб.: Изд-во «Медиапапир», 2019. 135 с.

Итак.

Комплексная переменная сама по себе может рассматриваться как модель — модель, которая характеризует свойства объекта более комплексно, поскольку состоит из двух действительных переменных, а не из одной переменной, как это характерно для моделей действительных переменных.

Когда мы в экономике рассматриваем такой экономический показатель, как, например, валовая прибыль G, то мы понимаем, что он представляет возможность оценить только одну сторону сложного экономического явления – экономические результаты производственного процесса. Но для осмысления ситуации и принятия правильного решения изучают не только прибыль, но и другие дополнительные показатели. Не менее важным экономическим показателем являются затраты на производство продукции, или, как чаще выражались в прежние годы – издержки производства C.

В реальной экономической практике и в научных исследованиях используют обобщённый показатель валового выпуска Q, понимая, что Q=C+G.

Но если рассматривать производственный результат как комплексное число:

$Z=C+iG$,                                                                       (1)

то тем самым удаётся использовать все три экономических показателя (валовую прибыль, валовые издержки, и валовой выпуск).

Здесь i – мнимая единица, относительно которой известно, что она обладает свойством i2=-1.

То есть, выполняя действия с какой-либо одной комплексной переменной, исследователь выполняет тем самым действие с двумя действительными переменными (а в рассматриваемом случае — с тремя). Следовательно, использование комплексной переменной типа (1) как некоторой модели, связывающей воедино две экономические переменные, позволяет получить значительно более компактную запись, с одной стороны, и включить в экономико-математическую модель более подробную информацию о моделируемом объекте, с другой стороны, и рассматривать их во взаимосвязи — с третьей стороны.

Но если бы только на этом заканчивались новшества, вводимые в экономико-математическое моделирование применением комплексных переменных, то, может быть, этого делать и не стоило. Моделируемые с помощью комплексных переменных экономические показатели и процессы значительно более обширны, чем это кажется на первый взгляд. Действительно, если просто просуммировать вещественную и мнимую части переменной (1), то можно получить известный показатель — валовую выручку:

$Q=C+G$,                                                                          (2)

а если найти отношение действительной части к мнимой, то получим арктангенс полярного угла комплексного числа (1) и… рентабельность по себестоимости:

$r=C/G$.                                                                              (3)

То есть, моделируя поведение только одной комплексной переменной, исследователь тем самым получает возможность изучать характер изменения не только двух исходных переменных, но и ряда дополнительных показателей, являющихся производными от них. В рассматриваемом случае – получается моделирование сразу четырёх важных экономических показателей.

Но и это ещё не всё! Комплексное число может быть представимо не только в арифметической форме, но и в экспоненциальной и тригонометрической. А для этого, рассматривая комплексное число на комплексной плоскости, его представляют в полярных координатах. Оно на такой плоскости характеризуется модулем и полярным углом. Модуль комплексного числа (1), определяемый как

$R=\sqrt{C^2+G^2}$,                                         (4)

не имеет аналогов в системе технико-экономического анализа, и переставляет собой новый экономический показатель, отражающий масштаб производства. Его использование на практике может расширить диагностический аппарат, например, такого раздела экономики, как анализ хозяйственной деятельности. Отношение валовой выручки Q к масштабу R также может дать дополнительную характеристику производства, свойства которой могут быть полезны при осуществлении экономического анализа. Такие примеры можно продолжать и продолжать. В каждом случае применения моделей комплексных переменных возникают всё новые и новые возможности для более подробного, более детального моделирования экономики.

Таким образом, даже простое представление экономических показателей и факторов в форме комплексного числа (1) уже даёт много новых возможностей  для исследователя и экономико-математического моделирования. Зачастую очень сложные взаимосвязи между действительными экономическими переменными проще описать с помощью моделей и методов ТФКП, нежели с помощью моделей действительных переменных. Конечно, как следует из разделов теории функций комплексного переменного, любая комплекснозначная функция в итоге может быть представлена как система двух функций действительных переменных, но эти функции действительных переменных чаще всего оказываются столь сложными, что их на практике и не применяют — простые модели комплексных переменных имеют очень сложные аналоги в области действительных переменных.

Математические действия с комплексными экономическими переменными дают другие результаты, и математические модели комплексных экономических переменных моделируют другие экономические процессы. В некоторых случаях модели комплексных переменных будут лучше описывать экономические процессы, чем модели действительных переменных, а в других – хуже.

Какие разделы комплекснозначной экономики удалось сформировать мне и моим ученикам? Вот основные:

  1. Статистика комплексной случайной переменной (изложена в монографии [3]).
  2. Производственные функции комплексных переменных (изложены в монографиях [1] и [2]).
  3. Экономическое прогнозирование с помощью комплекснозначных моделей (изложено в [2], а также в публикациях Ивана С. Светунькова).
  4. Экономическая аналитика методами комплекснозначной экономики (изложено в монографиях [1] и [2]).