Комплекснозначная экономика

Комплекснозначная экономика — это раздел экономико-математического моделирования, в котором переменными являются комплексные числа. Это значит, что в основе комплекснозначной экономики лежит теория функций комплексного переменного.

Я начал разрабатывать теорию и методологию комплекснозначной экономики декабря 2004 года. Активным моим помощником и учеником был мой сын Иван. Выполняя вместе с Иваном вычисления с комплексными переменными, я обнаружил некоторую закономерность, суть которой осознал только на следующее утро: это была линейная комплекснозначная модель производственной функции. Свойства этой функции я записал в самолёте, когда возвращался в Питер. Бумаги под рукой не было, и я, как в типовом советском фильме про учёных, делал записи на бумажном конверте для письма, аккуратно распарывая конверт по швам, чтобы использовать для записей каждый кусочек этой бумаги. Теперь ясно, что всё это элементарно, но тогда это было ново и совершенно не понятно.

Первые годы совместных научных исследований мы работали над темой вместе с Иваном, но он не понимал в полном объёме суть этой работы и её научную значимость. «Прорыв» в его сознании произошёл после защиты кандидатской диссертации и теперь он — один из «отцов основателей» комплекснозначной экономики вместе со своим отцом (со мной, то есть).

Вот — одна из системообразующих публикаций на эту тему: Теория функции комплексного переменного в экономико-математическом моделировании. Это — материалы первого научного семинара о комплекснозначной экономике (2005). В этой публикации наибольший интерес представляет научная дискуссия по нашим с Иваном докладам.

Результаты первых исследований были впечатляющими, и наша с Иваном первая научная монография выиграла конкурс грантов РФФИ по опубликованию результатов научных исследований. Она была выпущена при финансовой поддержке этого научного фонда в 2008 году и все последующие годы пользовалась невысоким, но стабильным спросом:

1. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. Производственные функции комплексных переменных.  М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 136 с.

В 2019 году издательство ЛКИ попросило нас сделать переиздание этой монографии и я добавил в монографию четвёртую главу. Теперь в этой монографии стало 170 страниц. Монографию можно свободно купить в России.

Фундаментальная работа по комплекснозначной экономике была написана мною в состоянии аффекта (на одном дыхании) в течение 2011 года и опубликована в 2012 году:

2. Svetunkov Sergey. Complex-Valued Modeling in Economics and Finance.  Springer Science+Business Media, New York, 2012.  318 p.

Тот вал новых научных результатов, который представлен в этой книге, до сих пор меня самого удивляет. Книга разошлась тиражом более 10 000 экземпляров и до сих пор продаётся издательством. Часть результатов этой монографии была подготовлена по итогам исследований, которые выполнили под моим руководством мои ученики и ссылка на их вклад в формирование комплекснозначной экономики в книге есть.

Одна из интересных работ для тех, кто интересуется моделированием экономической динамики, приведена здесь:

3. Светуньков С.Г. Моделирование экономической динамики: комплекснозначный подход (2015).

Важная фундаментальная работа по математической статистике комплексной случайной переменной опубликована в 2019 году:

4. Светуньков С.Г. Основы эконометрики комплексных переменных. СПб.: Изд-во «Медиапапир», 2019. 135 с.

Прорывная работа в области краткосрочного экономического прогнозирования с помощью авторегрессионных моделей была выполнена мною летом 2020 года: Комплекснозначная авторегрессия в экономическом прогнозировании одномерных рядов. Здесь предлагается модель CARE(p). Показано, что модель авторегрессии AR(p) является частным случаем этой модели. И всегда модель CARE(p) будет точнее прогнозировать экономические процессы, нежели классическая модель AR(p).

Почему эту статью я называю «прорывной»? Потому что на основе модели AR(p) сформировано множество других моделей краткосрочного прогнозирования: ARMA(p,q), ARIMA(p,q) и т.д. То есть — огромный пласт моделей краткосрочного экономического прогнозирования, который используется на практике и который продолжают исследовать и развивать учёные экономисты, базируется на модели AR(p). А я предложил вместо неё куда более точную модель CARE(p). Это значит, что предстоит трансформация этих моделей краткосрочного прогнозирования (ARMA(p,q), ARIMA(p,q)) в новые модели — CAREMA(p,q), CAREIMA(p,q) и т.д.

Весь этот текст написан для тех, кто включён в тему, а для тех, кто понятия не имеет о комплекснозначной экономике, привожу здесь смысл только одной комплексной переменной — комплексный результат производства.

Комплексная переменная сама по себе может рассматриваться как модель — модель, которая характеризует свойства объекта более комплексно, поскольку состоит из двух действительных переменных, а не из одной переменной, как это характерно для моделей действительных переменных.

Когда мы в экономике рассматриваем такой экономический показатель, как, например, валовая прибыль G, то мы понимаем, что он представляет возможность оценить только одну сторону сложного экономического явления – экономические результаты производственного процесса. Но для осмысления ситуации и принятия правильного решения изучают не только прибыль, но и другие дополнительные показатели. Не менее важным экономическим показателем являются затраты на производство продукции, или, как чаще выражались в прежние годы – издержки производства C.

В реальной экономической практике и в научных исследованиях используют обобщённый показатель валового выпуска Q, понимая, что Q=C+G.

Но если рассматривать производственный результат как комплексное число:

$Z=C+iG$,                                                                       (1)

то тем самым удаётся использовать все три экономических показателя (валовую прибыль, валовые издержки, и валовой выпуск).

Здесь i – мнимая единица, относительно которой известно, что она обладает свойством i2=-1.

То есть, выполняя действия с какой-либо одной комплексной переменной, исследователь выполняет тем самым действие с двумя действительными переменными (а в рассматриваемом случае — с тремя). Следовательно, использование комплексной переменной типа (1) как некоторой модели, связывающей воедино две экономические переменные, позволяет получить значительно более компактную запись, с одной стороны, и включить в экономико-математическую модель более подробную информацию о моделируемом объекте, с другой стороны, и рассматривать их во взаимосвязи — с третьей стороны.

Но если бы только на этом заканчивались новшества, вводимые в экономико-математическое моделирование применением комплексных переменных, то, может быть, этого делать и не стоило. Моделируемые с помощью комплексных переменных экономические показатели и процессы значительно более обширны, чем это кажется на первый взгляд. Действительно, если просто просуммировать вещественную и мнимую части переменной (1), то можно получить известный показатель — валовую выручку:

$Q=C+G$,                                                                          (2)

а если найти отношение действительной части к мнимой, то получим арктангенс полярного угла комплексного числа (1) и… рентабельность по себестоимости:

$r=C/G$.                                                                              (3)

То есть, моделируя поведение только одной комплексной переменной, исследователь тем самым получает возможность изучать характер изменения не только двух исходных переменных, но и ряда дополнительных показателей, являющихся производными от них. В рассматриваемом случае – получается моделирование сразу четырёх важных экономических показателей.

Но и это ещё не всё! Комплексное число может быть представимо не только в арифметической форме, но и в экспоненциальной и тригонометрической. А для этого, рассматривая комплексное число на комплексной плоскости, его представляют в полярных координатах. Оно на такой плоскости характеризуется модулем и полярным углом. Модуль комплексного числа (1), определяемый как

$R=\sqrt{C^2+G^2}$,                                         (4)

не имеет аналогов в системе технико-экономического анализа, и переставляет собой новый экономический показатель, отражающий масштаб производства. Его использование на практике может расширить диагностический аппарат, например, такого раздела экономики, как анализ хозяйственной деятельности. Отношение валовой выручки Q к масштабу R также может дать дополнительную характеристику производства, свойства которой могут быть полезны при осуществлении экономического анализа. Такие примеры можно продолжать и продолжать. В каждом случае применения моделей комплексных переменных возникают всё новые и новые возможности для более подробного, более детального моделирования экономики.

Таким образом, даже простое представление экономических показателей и факторов в форме комплексного числа (1) уже даёт много новых возможностей  для исследователя и экономико-математического моделирования. Зачастую очень сложные взаимосвязи между действительными экономическими переменными проще описать с помощью моделей и методов ТФКП, нежели с помощью моделей действительных переменных. Конечно, как следует из разделов теории функций комплексного переменного, любая комплекснозначная функция в итоге может быть представлена как система двух функций действительных переменных, но эти функции действительных переменных чаще всего оказываются столь сложными, что их на практике и не применяют — простые модели комплексных переменных имеют очень сложные аналоги в области действительных переменных.

Математические действия с комплексными экономическими переменными дают другие результаты, и математические модели комплексных экономических переменных моделируют другие экономические процессы. В некоторых случаях модели комплексных переменных будут лучше описывать экономические процессы, чем модели действительных переменных, а в других – хуже.